一、定理及其证明
@James_w_l与我发现如下定理：
已知为的外切圆，为的内切圆，D为与BC的切点，上一点P满足，则O, D, P共线
(资料图片)
证明
①若
取旁切圆与BC的切点E，作直径DF
引理：A, F, E共线（此引理对任意三角形均成立，无需）
证明：如下图，取旁心，设与AB切于H，与AB切于G
易知共线
共线
注事实上，由与关于A位似，F, E为位似对称点，即得A, F, E共线
回到本定理，易知P, A关于OI对称，D, F关于OI对称
故共线共线共线（由引理）
作于M，则
即
∴OM为DE中垂线
又OI为DF中垂线
∴O为的外心
即得O为斜边EF的中点
∴ O, F, E共线
由前面分析可知O, D, P共线
②若O, D, P共线
如图2，点D, E, F, M的构造同①，此时O仍在DE中垂线上
只需证O为EF中点
反证：若O不为EF中点
不妨设O在EF下方（在上方时类似）
只需证即有矛盾
延长OI至K使
则
即
矛盾！
∴ O为EF中点
说明证明该定理的关键在于利用内心的条件及对称性，由此想到构造旁切圆切点
二、推论
推论1若，则
证1（由@James_w_l提供）
由欧拉公式，
易知
由定理可知，O, D, P共线
证2
又∵ A, P关于OI对称
由定理可知，O, D, P共线
由即得
推论2若，则PI平分
证明由推论1及立得
注若用推论1证2来证明推论1，则已有PI平分
推论3若，则
证明由定理可知，O, D, P共线
又
∴
由定理的证明可知，A, O, E共线
又
同理，
关于推论逆命题的证明，将在《一个优雅的定理（二）》中探讨.
本文中的方法为我与@James_w_l的方法，如有雷同，纯属巧合.
如果读者有其他方法，或者有问题，欢迎分享交流！
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